Arta infinitului: istorie, matematica, imposibil

Infinitul este. Posibil

Infinitul a fost intotdeauna tratat cu un amestec de fascinatie
si smerenie. Unii l-au asociat ideii de divinitate, in timp
ce altii il privesc ca pe un concept fara valoare practica in lumea
reala. Acestia din urma isi argumenteaza pozitia afirmand
ca pana si matematica, aparent dependenta de infinit, poate fi
facuta recurgand la cantitati inepuizabile, dar finite. Vechii
greci erau oarecum incomodati de concept, dat fiind termenul pe
care i l-au atribuit, „apeiron”, o notiune cu aceleasi conotatii
negative pe care civilizatia modenra le intelege prin cuvantul
„haos”. „Apeiron”-ul era lipsit de control, salbatic si
periculos.

• Boomurile sonice ale rachetei Starship sunt atât de puternice încât ar putea deteriora structurile de la…
• India vrea să construiască o stație spațială care orbitează Luna până în 2040

Aristotel (384-322 i.Hr.), unul dintre cei mai mari filosofi
ai omenirii, discipolul lui Platon si invatatorul lui Alexandru cel
Mare

Ca atare, Aristotel a „pus la punct” atat de ferm infinitul
incat cu greu a mai fost luat in considerare de cineva pana in
secolul al XVII-lea. Abordarea lui s-a dovedit extrem de
pragmatica. Aristotel a decis ca infinitul trebuie sa
existe, doarece timpul pare sa nu aiba inceput, nici
sfarsit. De asemenea, nu era posibil ca cineva sa pretinda
ca o numaratoare ar fi putut fi terminata vreodata. Daca ar fi
existat un anume cel mai mare numar – „maximum”, ce era in neregula
cu a spune „maximum + 1” sau „maximum + n”? Pe de alta parte,
infinitul nu putea exista in lumea reala. Daca ar
fi exista, spre exemplu, un corp fizic infinit, spune Aristotel,
acesta ar fi fara frontiere – totusi, prin definitie, pentru a fi
corp un obiect trebuie sa aiba margini.

Premisa, inteligenta de altfel, a lui Aristotel era, deci, aceea
ca infinitul exista si in acelasi timp nu exista.
In loc sa fie o proprietate adevarata a ceva real, argumenta el,
infinitul exista doar ca posibilitate. El poate exista in
principiu, dar nu s-a intamplat niciodata practic. Iar un exemplu
foarte plastic dat de marele filosof suna cam asa: „Daca un om
dintr-o alta parte a lumii ar veni acum si ne-ar cere sa ii aratam
Jocurile Olimpice de care suntem atat de mandri, nu am putea sa o
facem. In acest moment, ele nu exista in realitate, dar exista ca
posibilitate. La fel, si infinitul se afla intr-o stare de
eventualitate”. Toata lumea s-a declarat multumita de aceasta
„demonstratie” timp de aproape 2.000 de ani din acel moment, pana
cand a intrat in scena Galileo Galilei.

Roata imperfecta a lui Galileo

Dupa arestul la domiciliu, din 1634, al lui Galielo, ca urmare a
procesului care i s-a intentat pentru eretica sa teorie
heliocentrica, omul de stiinta numai inactiv nu a devenit. In acea
perioada a scris cartea considerata a fi lucrarea de
capatai a activitatii sale stiintifice, denumita „Discursuri si
demonstratii matematice privind doua Stiinte noi”,
echivalenta ca valoare cu „Principia” lui Newton. Cartea a fost
scrisa sub forma unei conversatii intre un numar de personaje,
abordand in special chestiuni importante din punct de vedere
stiintific. In insiruirea narativa, dupa ce au dezbatut si
polemizat despre ce anume tine materia unita, personajele au o
abatere, aparent mai mult de amorul artei, despre natura
infinitului.Galileo a adus in aceasta privinta o serie
inedita de abordari, dar doua dintre ele merita notate in special.
Prima implica miscarea unei perechi de roti.

Galileo incepe cu roti imperfecte, cu cateva laturi, ca de
exemplu de forma unor hexagoane. Rotile sunt tridimensionale – sa
ni le imaginam ca si cum ar fi facute din marmura. Hezagonul mai
mic este fixat in cel mare, si fiecare se misca pe propria sa ruta
orizontala. Rotim agregatul intr-o parte astfel incat sa se miste
pe urmatoarea latura. Miscandu-se, roata mare pivoteaza pe unul din
colturi si avanseaza pe traseu cu lungimea unei laturi. Dar ce s-a
intamplat cu roata mai mica?

Nu doar roata mare s-a miscat pe acea distanta, ci si roata
mica; trebuie sa fie asa, deoarece sunt fixate impreuna. Adica
ambele roti trebuie sa fi parcurs fix aceeasi distanta intre
pozitia lor anterioara si cea de acum. Aterizand pe propria latura
urmatoare, roata mica a executat 1/6 dintr-o rotatie completa si
pare sa se fi deplasat pe traseul propriu cat lungimea laturii
sale; dar lucrurile nu s-au intamplat asa, pentru ca ea a fost
miscata pe distanta laturii rotii mari. Asadar, pentru a executa
miscarea in surplus si a respecta legile fizicii, roata mica a fost
complet ridicata de la traseu si asezata pe latura sa urmatoare.
Totul pentru ca, distanta intre pozitia sa initiala si cea actuala
trebuie sa fie egala cu dimensiunea laturii rotii mari.

Aici intervine artificiul istet. Galileo si-a imaginat un numar
sporit de laturi. Cu cat mai multe laturi, cu atat mai multe seturi
de mici miscari pe traseu si mici salturi ale rotii inferioare de
pe ruta proprie pe masura ce se invarte. In final, sa ne imaginam
ca ducem numarul de laturi la infinit. Sfarsim prin a avea roti
circulare.

Infinitul meu e mai mare decat infinitul tau

Invartim din nou cele doua roti, conectate, pe respectivele
trasee. Inca o data, ambele parcurg aceeasi distanta, sa spunem, un
sfert din circumferinta rotii mari. Sau asa ar trebui, pentru ca
acum, ceva straniu s-a intamplat. Marginea rotii mari s-a rotit cu
un sfert din circumferinta ei pe traseul propriu. Marginea rotii
mai mici s-a invartit doar cat un sfert din propria sa
circumferinta, mai mica. Totusi ea trebuie sa se fi deplasat pe
aceeasi distanta ca roata mare, insa fara a mai parasi ruta. Nu
exista salturi, sau cel putin asa pare.

Ceea ce si-a imaginat Galileo ca se intampla in acest caz este
ca pe masura ce roata mai mica se invarte, un numar infinit de mici
hop-uri infinitezimale se intampla pentru a acoperi diferenta
dintre circumferinta rotii mici si distanta pe care se deplaseaza.
Infinitul a intrat in scena printr-un dispozitiv fizic capabil sa
faca sa se intample ceva aparent imposibil. Concluziile trase de
personajele lui Galileo, Simplicio si Salviati, au fost ca
exista un numar infinit de puncte pe o roata circulara si
un numar infinit de puncte pe cealalta. Dar cumva, desi
fiecare are o infinitate de puncte, una a parcurs o distanta mai
mare decat cealalta. O infinitate era astfel la fel ca cealalta si
in acelasi timp mai mare.

Suna confuz, pentru ca este o problema sa gestionam
infinitul cu mintile noastre finite, dupa cum Salviati
recunoaste in carte. Al doilea model propus de el este cel al
patratului; nu forma geometrica, ci patratul unui numar, adica
orice numar inmultit cu el insusi. Asadar, isi imagineaza numerele
intregi, inmultinu-l pe fiecare cu sine. Pentru absolut orice numar
intreg exista un patrat. Avem un numar infinit de numere intregi
si, deci, un numar infinit de patrate cu o corespondenta de unu la
unu. Dar iata prinsoarea. Exista o multime de numere care nu
reprezinta patratul perfect pentru nimic. Asadar, desi
exista un patrat pentru absolut orice numar intreg – un set infinit
– exista chiar mai multe numere individuale decat patrate
perfecte. Din nou, infinituri diferite. Galileo a
descoperit ceva foarte special despre infinit. Regulile normale ale
aritmeticii nu i se aplica. Pot exista, efectiv, infinituri „mai
mici” si infinituri „mai mari”, unul substituit celuilalt, care
este de aceleasi dimensiuni cu el, infinit. Adevaratele implicatii
ale cugetarilor lui Galileo au avut nevoie de peste 300 de ani
pentru a iesi la lumina, dar chiar si asa, el a sadit samanta a tot
ceea ce avea sa urmeze in legatura cu infinitul.

Fibbonacci si proportia de aur

O pictura, o sculpltura, o lucrare arhitecturala sunt toate
organizate prin masuri si rapoarte gratios echilibrate. Infinitul
insusi, in matematica, se afla ascuns, tocmai in aceasta arta a
proportiilor. Care dreptunghi are cel mai placut raport intre
lungime si latime, spre exemplu? Oricine poate face un experiment
in aceasta directie si poate incerca, singur, sau acompaniat, sa
aleaga raportul pe care il gaseste cel mai potrivit. Este raportul
dintre latime si lungime apropiat de 2×3, 3×5, 5×8 – dimensiunile
standard ale carnetelelor si ale fotografiilor? Sau apropiat de o
alta pereche de numere adiacente din secventa:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…? Leonardo don Pisa, poreclit
Fibonacci, a fost un matematician italian de la inceputul secolului
al XIII-lea, care a aratat felul in care se formeaza aceasta
eleganta secventa de numere, conectata cu intelegerea noastra fata
de ce anume inseamna proportii multumitoare. Secretul
formarii celebrului sir de numere este formarea fiecarui numar prin
insumarea celor doua precedente.

Dar ce legatura exista intre aceasta insiruire si proprotii
potrivite? Marele Piero della Francesca a scris o carte „Despre
Proportia Divina”, iar in picturile lui a incadrat partile si
intregul in chenare cu ratiile lui Fibonacci. Leonardo da Vinci a
observat ca crengile copacilor, escaladand spiralat trunchiul, se
distanteaza intre ele intocmai conform acelorasi proprotii.
Virtual, toti artistii lucreaza pe baza acestor principii, fie ca
isi dau sau nu seama. Conurile de brad si cochiliile de melci,
coarnele cerbilor, liniile trasate printre sirurile de seminte ale
florii soarelui – iar si iar aceste ratii Fibonacii apar in natura.
Dar numai in matematica, arta infinitului, aceste ratii sunt
trecute din vizibil in extrema invizibila (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5,
13/8 etc) spre definirea unei anumite valori, denumita Calea sau
Ratia de Aur (aproximativ 1,618), care descrie proportia ideala pe
care proportiile finite din arta si natura doar o aproximeaza.

A n-a dimensiune?

Dar este acesta idealul divin sau diabolic? Pentagrama,
steaua cu cinci colturi, semnul Artelor Negre si capcana pentru
Mefistofel, este realizata din segmente care respecta intocmai
aceasta ratie de aur. Oare stau ingerii luminii sau cei ai
intunericului in spatele matematicianului aflat in cautarea
infinitului? Arta si matematica sunt ambele dependente de
echilibru, iar echilibrul matematicii este stocat in
ecuatii.Ecuatiile sunt Cubismul matematicii. Sa luam ca exemplu
cele cinci solide platonice: tetraedrul, cubul, octoedrul,
dodecaedrul si icosaedrul), pe care Kepler le-a vazut ca
emblematice pentru Univers. Le putem gasi peste tot in natura si in
arta, sunt ceea ce unii denumesc „caramizile spatiului”. Cat sunt
de diferite una de cealalta, totusi, o singura ecuatie le aduce la
un numitor comun. Ajunge sa numaram colturile oricarei forme si sa
notam rezultatul cu C. Adaugam numarul laturilor si numim
rezultatul L, precum si numarul fatetelor, F. Ce aflam? Pentru
tetraedru: C=4, L=6, F=4. Pentru cub: C=8, L=12, F=6. Putine
lucruri in comun. Si totusi, vom constata, iar acest lucru se
aplica si in cazul celor 3 poliedre ramase precum si al tuturor de
peste ele, ca in fiecare caz C-L+F=2. Este o forma de infinit, una
care se afla in spatele tuturor artelor noastre, chiar si a
muzicii, ale carei armonii sunt expresia auditiva a
proportionalitatii.

Cubul despre care tocmai am vorbit are 8 colturi, 12 laturi si 6
fatete. Ce putem spune insa despre cuburile in patru dimensiuni? Ce
putem spune despre patru dimensiuni pur si simplu? Uimitor, dar
destule. Nu putem privi un cub cvadridimensional dar ne putem gandi
la el, spun cercetatorii. Are 16 colturi, 32 de laturi si 24 de
fete. Sa continuam? Un cub in sapte dimensiuni are 672 de fete.
Unul decadimensional are 5.120 de laturi. Si se poate continua,
deoarece adevarata natura a matematicii este le limita gandirii
noastre. De aceea, infinitul nu ar trebui privit ca o enigma
matematica ce trebuie dezlegata, ci ca o cheie a vietii insasi, pe
care, intelegand-o, ne vom elibera de toate constrangerile mintilor
noastre limitate si vom putea avea si intelege Universul. Pentru ca
infinitul nu este doar in spatiul cosmic ale carui frontiere nu le
percepem, ci chiar si in ultimul fir de nisip de sub talpile
noastre.

Descopera lumea in
care traiesti!

• Top 10 cei mai
  periculosi munti din lume
• Biserica din
  oase de om si alte locasuri de cult
  ciudate
• Port Elizabeth sau
  omagiu pentru Nelson Mandela